Как вычислить радиус вписанной окружности в правильный треугольник при известном радиусе описанной окружности — подробный гайд и формулы

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник — это расстояние от центра окружности до любой из вершин треугольника. В то время, как радиус описанной окружности представляет собой расстояние от центра окружности до одной из точек треугольника.

По сути, вписанная окружность касается всех сторон правильного треугольника, в то время как описанная окружность проходит через вершины треугольника и касается каждой его стороны.

Для того чтобы найти радиус вписанной окружности, мы можем использовать радиус описанной окружности и формулу, которая связывает эти два радиуса. Формула гласит, что радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной окружности, умноженной на корень из 3.

Таким образом, если мы знаем радиус описанной окружности, мы можем легко найти радиус вписанной окружности, используя данную формулу. Использование этой формулы позволяет нам более точно изучить геометрические свойства правильного треугольника и связи между его описанной и вписанной окружностями.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник

r = R / 2sin(π/3)

Где R — радиус описанной окружности, π — число Пи, sin — функция синуса.

Таким образом, чтобы найти радиус вписанной окружности, мы должны знать радиус описанной окружности. Зная радиус описанной окружности, можно легко вычислить радиус вписанной окружности с помощью указанной формулы.

Описание и суть задачи

Задача заключается в определении радиуса вписанной окружности в правильный треугольник, используя известное значение радиуса описанной окружности.

Правильный треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны, а все углы одинаковы и равны 60 градусов.

Радиус описанной окружности – это расстояние от центра окружности до любой стороны треугольника.

Радиус вписанной окружности – это расстояние от центра окружности до любого угла треугольника.

Существует формула, позволяющая выразить радиус вписанной окружности через радиус описанной окружности:

rв = rо * sqrt(3) / 2

Где rв – радиус вписанной окружности, rо – радиус описанной окружности.

Эта формула основана на связи между прямоугольным треугольником, образованным радиусом описанной окружности, радиусом вписанной окружности и одной из сторон правильного треугольника.

Таким образом, задачу можно решить, подставив известное значение радиуса описанной окружности в формулу и вычислив радиус вписанной окружности.

Формулы и методы решения

Для нахождения радиуса вписанной окружности в правильный треугольник через радиус описанной окружности можно использовать следующую формулу:

Радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной окружности.

Таким образом, если известен радиус описанной окружности, то радиус вписанной окружности можно найти, разделив его значение пополам.

Формула основана на свойстве правильного треугольника, которое гласит, что центр окружности, вписанной в правильный треугольник, совпадает с центром окружности, описанной около этого треугольника. Таким образом, радиус вписанной окружности всегда составляет половину радиуса описанной окружности.

Применение этой формулы упрощает процесс вычислений и позволяет точно и быстро находить радиус вписанной окружности в правильный треугольник.

Алгоритм и примеры решения

Для нахождения радиуса вписанной окружности в правильный треугольник через радиус описанной окружности можно использовать следующий алгоритм:

  1. Найдите площадь треугольника с помощью формулы Герона:
    • Пусть сторона треугольника равна a.
    • Тогда его площадь равна S = (√3/4) * a2.
  2. Найдите длину стороны треугольника:
    • Используйте формулу для нахождения площади треугольника: S = (a * b * c) / (4 * R), где S — площадь треугольника, a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.
    • Так как треугольник правильный, то a = b = c.
    • Поэтому S = (a3)/ (4 * R).
  3. Найдите радиус вписанной окружности:
    • Используйте формулу для нахождения радиуса вписанной окружности: r = S / p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.
    • Так как треугольник правильный, то полупериметр равен p = 3 * a / 2.
    • Поэтому r = (a * √3) / 6.

Ниже приведены примеры решения:

  1. Пример 1:

    • Дано: радиус описанной окружности R = 5.
    • Находим площадь треугольника по формуле Герона: S = (√3/4) * a2.
    • Находим сторону треугольника a по формуле площади: √3 * a2 / 4 = 3 * 52 / (4 * 5) = √3 * 5 / 2 = 5√3 / 2.
    • Находим радиус вписанной окружности по формуле: r = (a * √3) / 6 = (5√3 / 2 * √3) / 6 = 5 / 4.
    • Ответ: радиус вписанной окружности r = 5 / 4.
  2. Пример 2:

    • Дано: радиус описанной окружности R = 8.
    • Находим площадь треугольника по формуле Герона: S = (√3/4) * a2.
    • Находим сторону треугольника a по формуле площади: √3 * a2 / 4 = 3 * 82 / (4 * 8) = √3 * 8 / 2 = 4√3.
    • Находим радиус вписанной окружности по формуле: r = (a * √3) / 6 = (4√3 * √3) / 6 = 2.
    • Ответ: радиус вписанной окружности r = 2.
Оцените статью